Funcions matricials

Aquesta categoria conté les funcions matricials.

Què és una matriu?

Una matriu és un interval de cel·les enllaçades que contenen valors en un full de càlcul. Un interval quadrat de 3 files i 3 columnes és una matriu de 3 x 3:

A

B

C

1

7

31

33

2

95

17

2

3

5

10

50


La matriu més petita possible és una matriu de 1 x 2 o 2 x 1 amb dues cel·les adjacents.

Què és una fórmula matricial?

Una fórmula matricial és una fórmula en què s'avaluen els valors individuals d'un interval de cel·les. La diferència entre una fórmula matricial i altres tipus de fórmules és que la fórmula matricial tracta diversos valors simultàniament, en comptes de tractar-ne només un.

Una fórmula matricial no només pot processar diferents valors, sinó que també pot retornar-ne de diferents. Els resultats d'una fórmula matricial és també una matriu.

Per multiplicar per 10 els valors de les cel·les individuals en la matriu anterior, no cal que apliqueu una fórmula a cadascuna de les cel·les o dels valors; només cal que utilitzeu una fórmula matricial. Seleccioneu un interval de 3 x 3 cel·les en una altra zona del full de càlcul, introduïu la fórmula =10*A1:C3 i confirmeu l'entrada prement la combinació de tecles +Maj+Retorn. El resultat és una matriu de 3 x 3 en què els valors individuals de l'interval de cel·les (A1:C3) es multipliquen per un factor de 10.

A més de la multiplicació, també podeu utilitzar altres operadors en l'àrea de referència (una matriu). Amb el LibreOffice Calc, podeu sumar (+), restar (-), multiplicar (*), dividir (/), utilitzar exponents (^), concatenació (&) i comparacions (=, <>, <, >, <=, >=). Els operadors es poden utilitzar en cada valor individual de l'àrea de les cel·les i retornar el resultat com una matriu si s'ha introduït la fórmula matricial.

Els operadors de comparació d'una fórmula matricial tracten les cel·les buides de la mateixa manera que en una fórmula normal, és a dir, com un zero o com una cadena buida. Per exemple, si les cel·les A1 i A2 són buides, les fórmules matricials {=A1:A2=""} i {=A1:A2=0} retornaran una matriu d'una columna i dues línies que contindrà CERT.

Quan podeu utilitzar fórmules matricials?

Utilitzeu fórmules matricials si heu de repetir càlculs amb valors diferents. Si decidiu canviar el mètode de càlcul més endavant, només caldrà que actualitzeu la fórmula matricial. Per afegir una fórmula matricial, seleccioneu tot l'interval de matriu i, tot seguit, feu la modificació a la fórmula matricial.

Les fórmules matricials també són una opció que estalvia espai quan s'han de calcular diversos valors, ja que no consumeixen gaire memòria. A més a més, les matrius són eines essencials per fer càlculs complexos, ja que podeu incloure diversos intervals de cel·les en els càlculs. El LibreOffice disposa de diverses funcions matemàtiques per a les matrius, com ara la funció MULTM per multiplicar dues matrius o la funció SUMAPRODUCTE per calcular els productes escalars de dues matrius.

Ús de fórmules matricials al LibreOffice Calc

També podeu crear una fórmula "normal" on l'interval de referència, com ara els paràmetres, indiqui una fórmula matricial. El resultat s'obté de la intersecció de l'interval de referència i les files o columnes on es troba la fórmula. Si no hi ha cap intersecció, o si l'interval de la intersecció cobreix diverses files o columnes, apareix un missatge d'error #VALOR!. L'exemple següent il·lustra aquest concepte:

Creació de fórmules matricials

Si creeu una fórmula matricial mitjançant l'Auxiliar de funcions, heu d'activar la casella de selecció Matriu cada vegada perquè es retornin els resultats en una matriu. Si no ho feu, només es retorna el valor de la cel·la superior esquerra de la matriu que es calcula.

Si introduïu la fórmula matricial directament a la cel·la, heu d'utilitzar la combinació de tecles Maj++Retorn en lloc de prémer la tecla Retorn. D'aquesta manera, la fórmula esdevindrà matricial.

Icona de nota

Les fórmules matricials apareixen entre claus al LibreOffice Calc. No podeu crear fórmules matricials introduint-hi les claus manualment.


Icona d'avís

Les cel·les d'una matriu de resultats es protegeixen automàticament dels canvis. No obstant això, podeu editar o copiar la fórmula de matrius en seleccionar la matriu sencera de l'interval de cel·les.


Ús de constants de matriu en línia en fórmules

El Calc admet constants de matriu en línia en les fórmules. Una matriu en línia es troba entre claudàtors '{' i '}'. Els elements poden ser nombres (inclosos els negatius), una constant lògica (CERT, FALS) o una cadena literal. No es permeten les expressions no constants. Es poden introduir les matrius en una fila o en més d'una, i en una columna o en més d'una. Totes les files han de constar del mateix nombre d'elements i totes les columnes han d'estar formades pel mateix nombre d'elements.

El separador de columnes (que separa els elements d'una fila) i el separador de files depenen de la llengua i de la configuració regional. Però al contingut d'aquesta ajuda, s'utilitzen el punt i coma ';' i el símbol de barra vertical '|' per indicar els separadors de columnes i de files, respectivament. Per exemple, en anglès s'utilitza la coma ',' com a separador de columnes i el punt i coma ';', com a separador de files.

Icona de consell

You can view and change the row and column separator in - Calc - Formula - Separators.


No es poden incrustar les matrius.

Exemples:

={1;2;3}

Una matriu amb una fila formada pels nombres 1, 2 i 3.

Per introduir aquesta constant de matriu, seleccioneu tres cel·les en una fila i escriviu la fórmula ={1;2;3} (utilitzeu les claus i els punts i coma); tot seguit, premeu +Maj+Retorn.

={1;2;3|4;5;6}

Una matriu amb dues files i tres valors en cada fila.

={0;1;2|FALS;CERT;"dos"}

Una matriu de dades mixtes.

=SIN({1;2;3})

En introduir-lo com una fórmula matricial, retorna el resultat de tres càlculs de SIN amb els arguments 1, 2 i 3.

Edició de fórmules matricials

  1. Seleccioneu un interval de cel·les o una matriu que contingui la fórmula matricial. Per seleccionar tota la matriu, col·loqueu el cursor de la cel·la dins de l'interval de la matriu i premeu +/, on / és la tecla de divisió en el teclat numèric.

  2. Premeu F2 o col·loqueu el cursor en la línia d'entrada. Totes dues accions us permeten editar la fórmula.

  3. Després que hàgiu fet els canvis, premeu +Maj+Retorn.

Icona de consell

Podeu donar format a parts separades d'una matriu. Per exemple, en podeu canviar el color del tipus de lletra. Seleccioneu un interval de cel·les i llavors canvieu l'atribut que vulgueu.


Còpia de fórmules matricials

  1. Seleccioneu l'àrea de les cel·les o la matriu que contingui la fórmula matricial.

  2. Premeu F2 o col·loqueu el cursor en la línia d'entrada.

  3. Copieu la fórmula a la línia d'entrada prement +C.

  4. Seleccioneu un interval de cel·les on vulgueu inserir la fórmula matricial i premeu F2, o bé col·loqueu el cursor en la línia d'entrada.

  5. Enganxeu la fórmula prement +V a l'espai seleccionat i confirmeu-ho prement +Maj+Retorn. L'àrea seleccionada contindrà ara la fórmula matricial.

Ajust d'una àrea de matriu

Si voleu editar la matriu de sortida, feu el següent:

  1. Seleccioneu l'àrea de les cel·les o la matriu que contingui la fórmula matricial.

  2. A sota de la selecció, a la dreta, veureu una icona petita amb la qual podeu apropar-vos o allunyar-vos de l'àrea utilitzant el ratolí.

Icona de nota

Si ajusteu l'interval de matriu, la fórmula matricial no s'ajusta automàticament. Només canvieu l'interval on apareixerà el resultat.


Si manteniu premuda la tecla podeu crear una còpia de la fórmula matricial a l'interval donat.

Càlcul de matrius condicionals

Un càlcul de matriu condicional és una matriu o una fórmula matricial que inclou una funció SI() o TRIA(). L'argument de condició de la fórmula és una referència d'àrees o un resultat de matriu.

En l'exemple següent, s'aplica la verificació >0 de la fórmula {=SI(A1:A3>0;"sí";"no")} a cadascuna de les cel·les de l'interval A1:A3 i el resultat es copia a la cel·la corresponent.

A

B (fórmula)

B (resultat)

1

1

{=SI(A1:A3>0;"sí";"no")}

2

0

{=SI(A1:A3>0;"sí";"no")}

no

3

1

{=SI(A1:A3>0;"sí";"no")}


Les funcions següents permeten gestionar les matrius forçades: CORREL, COVAR, PRONOSTIC, PROVAF, INTERCEPCIO, DETERMM, MINVERSA, MULTM, MODA, PEARSON, PROB, RQUAD, PENDENT, ERRTIPYX, SUMAPRODUCTE, SUMAX2MENYSY2, SUMAX2MESY2, SUMAXMENYSY2 i PROVAT. Si utilitzeu referències d'àrea com a arguments quan apliqueu una d'aquestes funcions, les funcions es comporten com funcions de matriu. La taula següent mostra un exemple de gestió de matrius forçades:

A

B (fórmula)

B (resultat)

C (fórmula matricial forçada)

C (resultat)

1

1

=A1:A2+1

2

=SUMAPRODUCTE(A1:A2+1)

5

2

2

=A1:A2+1

3

=SUMAPRODUCTE(A1:A2+1)

5

3

=A1:A2+1

#VALOR!

=SUMAPRODUCTE(A1:A2+1)

5


CREIXEMENT

Calcula els punts de la tendència exponencial d'una matriu.

Sintaxi

CREIXEMENT(DadesY; DadesX; DadesNovesX; TipusDeFunció)

DadesY representa la matriu de dades Y.

DadesX (opcional) representa la matriu de dades X.

DadesNovesX (opcional) representa la matriu de dades X, en què es tornen a calcular els valors.

TipusDeFunció(opcional). Si TipusDeFunció = 0, es calcularan les funcions que tinguin la forma y = m^x. En cas contrari, es calcularan les funcions y = b*m^x.

In the LibreOffice Calc functions, parameters marked as "optional" can be left out only when no parameter follows. For example, in a function with four parameters, where the last two parameters are marked as "optional", you can leave out parameter 4 or parameters 3 and 4, but you cannot leave out parameter 3 alone.

More explanations on top of this page.

Exemple

Aquesta funció retorna una matriu i es tracta de la mateixa manera que la resta de funcions de matriu. Seleccioneu un interval on vulgueu que apareguin les respostes i seleccioneu la funció. Tot seguit, seleccioneu DadesY. Introduïu altres paràmetres (si cal), activeu Matriu i feu clic a D'acord.

DETERMM

Retorna la matriu determinant d'una matriu. Aquesta funció retorna un valor en la cel·la actual; no cal definir una àrea per als resultats.

Sintaxi

DETERMM(Matriu)

Matriu representa una matriu quadrada en la qual es defineixen els determinants.

Icona de nota

You can find a general introduction to using Array functions on top of this page.


More explanations on top of this page.

ESTLIN

Retorna una taula d'estadístiques per a la línia recta que encaixa millor amb el grup de dades.

Sintaxi

ESTLIN(Dades_Y; Dades_X; TipusLineal; Estadístiques)

Dades_Y és una sola fila o un interval de columnes que indica les coordenades y en un conjunt de punts de dades.

Dades_X és una fila única o un interval de columnes corresponent que especifica les coordenades x. Si s'omet Dades_X, es prendrà 1, 2, 3, ..., n per defecte. Si hi ha més d'un conjunt de variables, Dades_X pot ser un interval amb files o columnes múltiples corresponents.

ESTLIN cerca la línia recta y = a + bx que encaixi millor amb les dades mitjançant la regressió lineal (el mètode dels mínims quadrats). Si hi ha més d'un conjunt de variables, la línia recta serà y = a + b1x1 + b2x2 ... + bnxn.

If linearType is FALSE the straight line found is forced to pass through the origin (the constant a is zero; y = bx). If omitted, linearType defaults to TRUE (the line is not forced through the origin).

If stats is omitted or FALSE only the top line of the statistics table is returned. If TRUE the entire table is returned.

ESTLIN retorna una taula (una matriu) d'estadístiques com la següent i s'ha d'introduir com una fórmula matricial (per exemple, prement +Maj+Retorn, en lloc de només Retorn).

In the LibreOffice Calc functions, parameters marked as "optional" can be left out only when no parameter follows. For example, in a function with four parameters, where the last two parameters are marked as "optional", you can leave out parameter 4 or parameters 3 and 4, but you cannot leave out parameter 3 alone.

More explanations on top of this page.

Exemple

Aquesta funció retorna una matriu i es tracta de la mateixa manera que les altres funcions de matriu. Seleccioneu un interval per inserir-hi les respostes i tot seguit seleccioneu la funció. Seleccioneu Dades_Y. Si voleu, podeu introduir altres paràmetres. Seleccioneu Matriu i feu clic a D'acord.

Els resultats que retorna el sistema (si estadístiques = 0), mostraran almenys el pendent de la recta de regressió i la seva intersecció amb l'eix Y. Si estadístiques no és igual a 0, es mostraran altres resultats.

Altres resultats d'ESTLIN:

Examineu els exemples següents:

A

B

C

D

E

F

G

1

x1

x2

y

Valor residual

2

4

7

100

4,17

-3,48

82,33

3

5

9

105

5,46

10,96

9,35

4

6

11

104

0,87

5,06

#ND

5

7

12

108

13,21

4

#ND

6

8

15

111

675,45

102,26

#ND

7

9

17

120

8

10

19

133


La columna A conté diversos valors X1; la columna B, diversos valors X2, i la columna C, els valors Y. Ja heu introduït els valors en el full de càlcul. Heu configurat E2:G6 en el full de càlcul i heu activat l'Auxiliar de funcions. Perquè la funció ESTLIN funcioni, heu d'haver activat la casella de selecció Matriu a l'Auxiliar de funcions. Tot seguit, seleccioneu els valors següents en el full de càlcul (o introduïu-los mitjançant el teclat):

Dades_Y és C2:C8

Dades_X és A2:B8

TipusLineal i estadístiques s'han definit a 1.

Tan bon punt feu clic a D'acord, el LibreOffice Calc emplenarà l'exemple anterior amb els valors de la funció ESTLIN, tal com es mostra a l'exemple.

La fórmula que apareix a la barra de fórmules correspon a cadascuna de les cel·les de la matriu ESTLIN {=ESTLIN(C2:C8;A2:B8;1;1)}.

Això representa els valors ESTLIN calculats:

E2 i F2: pendent m de la recta de regressió y=b+m*x per als valors x1 i x2. Els valors s'indiquen en l'ordre invers; és a dir, el pendent d'x2 apareix a E2 i el pendent d'x1 es mostra a F2.

G2: intersecció de b amb l'eix y.

E3 i F3: error estàndard del valor del pendent.

G3: error estàndard de la intercepció.

E4: RQUAD

F4: error estàndard de la regressió calculat per al valor d'Y.

E5: valor F de l'anàlisi de variància.

F5: graus de llibertat de l'anàlisi de variància.

E6: suma dels quadrats de les desviacions dels valors Y estimats des de la mitjana lineal.

F6: suma del quadrat de la desviació del valor Y estimat des dels valors Y indicats.

More explanations on top of this page.

ESTLOG

Aquesta funció calcula l'ajustament de les dades introduïdes en forma de corba de regressió exponencial (y=b*m^x).

Sintaxi

ESTLOG(DadesY; DadesX; TipusDeFunció; Estadístiques)

DadesY representa la matriu de dades Y.

DadesX (opcional) representa la matriu de dades X.

TipusDeFunció (opcional). Si Tipus_Funció = 0, es calcularan les funcions amb la forma y = m^x. Altrament, es calcularan les funcions y = b*m^x.

Estadístiques (opcional). Si Estadístiques=0, només es calcula el coeficient de regressió.

In the LibreOffice Calc functions, parameters marked as "optional" can be left out only when no parameter follows. For example, in a function with four parameters, where the last two parameters are marked as "optional", you can leave out parameter 4 or parameters 3 and 4, but you cannot leave out parameter 3 alone.

More explanations on top of this page.

Exemple

Vegeu ESTLIN. Tanmateix, no es retornarà cap suma quadrada.

FREQUENCIA

Indica la distribució freqüencial en una matriu d'una columna. La funció compta el nombre de valors de la matriu Dades que es troben entre els valors indicats per la matriu Classes.

Sintaxi

FREQUENCIA(Dades; Classes)

Dades representa la referència cap als valors que s'han de comptar.

Classes representa la matriu dels valors límit.

Icona de nota

Trobareu una introducció general a les funcions de matriu a la part superior d'aquesta pàgina.


Exemple

A la taula següent, la columna A mostra valors de mesura sense ordenar. La columna B conté el límit superior que heu introduït per a les classes en què voleu dividir les dades de la columna A. En funció del límit que hàgiu introduït a B1, la funció FREQUENCIA retorna el nombre de valors mesurats que són més petits o iguals que 5. Com que el límit de B2 és 10, la funció FREQUENCIA retorna el segon resultat com el nombre de valors mesurats que són majors de 5 i menors o iguals a 10. El text que heu introduït a B6, ">25", només s'utilitza com a referència.

A

B

C

1

12

5

1

2

8

10

3

3

24

15

2

4

11

20

3

5

5

25

1

6

20

>25

1

7

16

8

9

9

7

10

16

11

33


Seleccioneu un interval, en una sola columna, on s'introduirà la freqüència en funció dels límits de classe. Heu de seleccionar un camp més que el camp superior de la classe. En aquest exemple, seleccioneu l'interval C1:C6. Activeu la funció FREQUENCIA des de l'Auxiliar de funcions. Seleccioneu l'interval Dades a (A1:A11) i, tot seguit, seleccioneu l'interval Classes en el qual hàgiu introduït els límits de classe (B1:B6). Activeu la casella de selecció Matriu i feu clic a D'acord. Apareixerà el comptatge de la freqüència en l'interval C1:C6.

More explanations on top of this page.

MINVERSA

Retorna la matriu inversa.

Sintaxi

MINVERSA(Matriu)

Matriu representa una matriu quadrada que s'ha d'invertir.

More explanations on top of this page.

Exemple

Seleccioneu un interval quadrat i trieu MINVERSA. Seleccioneu la matriu obtinguda, seleccioneu el camp Matriu i feu clic a D'acord.

MULTM

Calcula el producte de dues matrius. El nombre de columnes de la matriu 1 ha de coincidir amb el nombre de files de la matriu 2. La matriu quadrada té el mateix nombre de files i de columnes.

Sintaxi

MULTM(Matriu; Matriu)

En la primera posició, Matriu representa la primera matriu que s'utilitza en el producte de la matriu.

En la segona posició, Matriu representa la segona matriu amb el mateix nombre de files.

Icona de nota

More explanations on top of this page.


Exemple

Seleccioneu un interval quadrat. Trieu la funció MULTM. Seleccioneu la primera Matriu i, tot seguit, seleccioneu la segona Matriu. Mitjançant l'Auxiliar de funcions, activeu la casella de selecció Matriu. Feu clic a D'acord. La matriu obtinguda apareixerà en el primer interval seleccionat.

MUNIT

Retorna la matriu quadrada unitària d'una mida determinada. La matriu unitària és una matriu quadrada on els elements diagonals principals són iguals a 1 i els altres elements de matriu són iguals a 0.

Sintaxi

MUNIT(Dimensions)

Dimensions fa referència a la mida de la unitat de matriu.

Icona de nota

Trobareu una introducció general a les funcions de matriu a la part superior d'aquesta pàgina.


Exemple

Seleccioneu un interval quadrat en el full de càlcul; per exemple, d'A1 a E5.

Sense desseleccionar l'interval, seleccioneu la funció MUNIT. Activeu la casella de selecció Matriu. Introduïu les dimensions de la unitat de matriu, en aquest cas 5, i feu clic a D'acord.

També podeu introduir la fórmula =MUNIT(5) a l'última cel·la de l'interval seleccionat (E5) i prémer .

Es mostra una matriu unitària amb l'interval A1:E5.

More explanations on top of this page.

SUMAPRODUCTE

Multiplica els elements corresponents de les matrius indicades i retorna la suma d'aquests productes.

Sintaxi

SUMAPRODUCTE(Matriu1; Matriu2...Matriu30)

Matriu1, Matriu2...Matriu30 representen les matrius de les quals s'han de multiplicar els elements corresponents.

Almenys una matriu ha de formar part de la llista d'arguments. Si només s'indica una matriu, se sumen tots els elements de matriu.

Exemple

A

B

C

D

1

2

3

4

5

2

6

7

8

9

3

10

11

12

13


=SUMAPRODUCTE(A1:B3;C1:D3) retorna 397.

Càlcul: A1*C1 + B1*D1 + A2*C2 + B2*D2 + A3*C3 + B3*D3

Podeu utilitzar SUMAPRODUCTE per calcular el producte escalar de dos vectors.

Icona de nota

SUMAPRODUCTE retorna un sol nombre; no cal introduir la funció com una fórmula matricial.


More explanations on top of this page.

SUMAX2MENYSY2

Retorna la suma de la diferència dels quadrats dels valors corresponents en dues matrius.

Sintaxi

SUMAX2MENYSY2(MatriuX; MatriuY)

MatriuX representa la primera matriu, els elements de la qual s'han d'elevar al quadrat i s'han de sumar.

MatriuY representa la segona matriu, els elements de la qual s'han d'elevar al quadrat i s'han de restar.

More explanations on top of this page.

SUMAX2MESY2

Retorna la suma de la suma dels quadrats dels valors corresponents en dues matrius.

Sintaxi

SUMAX2MESY2(MatriuX; MatriuY)

MatriuX representa la primera matriu, els elements de la qual s'han d'elevar al quadrat i s'han de sumar.

MatriuY representa la segona matriu, els elements de la qual s'han d'elevar al quadrat i s'han de sumar.

More explanations on top of this page.

SUMAXMENYSY2

Afegeix els quadrats de la variància entre els valors corresponents en dues matrius.

Sintaxi

SUMAXMENYSY2(MatriuX; MatriuY)

MatriuX representa la primera matriu, els elements de la qual s'han de restar i s'han d'elevar al quadrat.

MatriuY representa la segona matriu, els elements de la qual s'han de restar i s'han d'elevar al quadrat.

More explanations on top of this page.

TENDENCIA

Retorna valors seguint una tendència lineal.

Sintaxi

TENDENCIA(DadesY; DadesX; DadesNovesX; TipusLineal)

DadesY representa la matriu de dades Y.

DadesX (opcional) representa la matriu de dades X.

DadesNovesX (opcional) representa la matriu de les dades X, que s'utilitzen per tornar a calcular els valors.

TipusLineal(opcional). Si TipusLineal = 0, es calcularan les línies a través del punt zero. Altrament, també es calcularan les línies de desplaçament. El valor per defecte és TipusLineal <> 0.

In the LibreOffice Calc functions, parameters marked as "optional" can be left out only when no parameter follows. For example, in a function with four parameters, where the last two parameters are marked as "optional", you can leave out parameter 4 or parameters 3 and 4, but you cannot leave out parameter 3 alone.

More explanations on top of this page.

Exemple

Seleccioneu l'interval de full de càlcul on han d'aparèixer les dades de tendència i, a continuació, seleccioneu la funció. Introduïu les dades de sortida o seleccioneu-les amb el ratolí. Finalment, activeu el camp Matriu i feu clic a D'acord. Es mostraran les dades de tendència que s'han calculat a partir de les dades de sortida.

TRANSPOSA

Transposa les files i les columnes d'una matriu.

Sintaxi

TRANSPOSA(Matriu)

Matriu representa la matriu del full de càlcul que s'ha de transposar.

Icona de nota

Trobareu una introducció general a l'ús de les funcions de matriu a la part superior d'aquesta pàgina.


Exemple

En el full de càlcul, seleccioneu l'interval on pot aparèixer la matriu transposada. Si la matriu original té n files i m columnes, l'interval que seleccioneu ha de tenir com a mínim m files i n columnes. Tot seguit, introduïu la fórmula directament, seleccioneu la matriu original i premeu . O bé, si utilitzeu l'Auxiliar de funcions, activeu la casella de selecció Matriu. La matriu transposada apareixerà en l'interval de destinació seleccionat; la matriu estarà protegida automàticament contra canvis.

A

B

C

D

1

2

3

4

5

2

6

7

8

9


The above table is 2 rows, 4 columns. In order to transpose it, you must select 4 rows, 2 columns. Assuming you want to transpose the above table to the range A7:B10 (4 rows, 2 columns) you must select the entire range and then enter the following:

TRANSPOSE(A1:D2)

Then make sure to enter it as matrix formula with . The result will be as follows:

A

B

7

2

6

8

3

7

9

4

8

10

5

9